Turán chủ yếu nghiên cứu về lý thuyết số,[7]:4 nhưng cũng có nhiều đóng góp trong giải tích và lý thuyết đồ thị.[8]

Lý thuyết số

Năm 1934, Turán sử dụng sàng Turán để đưa ra một chứng minh mới rất đơn giản cho một kết quả từ năm 1917 của G. H. Hardy và Ramanujan về xấp xỉ cho số các ước nguyên tố phân biệt của số tự nhiên n, cụ thể là ln ⁡ ln ⁡ n {\displaystyle \ln \ln n} . Theo thuật ngữ xác suất, ông xấp xỉ phương sai so với ln ⁡ ln ⁡ n {\displaystyle \ln \ln n} . Nhà toán học Gábor Halász nói rằng "Điều quan trọng nhất chính là nó đã bắt đầu lý thuyết số xác suất".[9] Bất đẳng thức Turán–Kubilius là một tổng quát của kết quả này.[7]:5 [9]:16

Turán đặc biệt quan tâm về sự phân bố của các số nguyên tố trong những dãy cấp số cộng, và ông đưa ra cụm tù "cuộc đua số nguyên tố" cho những điểm bất thường trong sự phân bố các số nguyên tố trong các lớp thặng dư.[7]:5 Cùng với Knapowski, ông chứng minh những kết quả liên quan đến chênh lệch Chebyshev. Giả định Erdős–Turán cho về liên quan đến các số nguyên tố trong cấp số cộng. Nhiều nghiên cứu của Turán liên quan đến giả thuyết Riemann và ông đã phát triển phương pháp tổng lũy thừa (xem bên dưới) đế giúp ông giải quyết nó. Erdős nói rằng "Turán là một 'người đa nghi,' thực chất, một 'pagan': anh ta không tin Giả thuyết Riemann là đúng."[3]:3

Giải tích

Hầu hết nghiên cứu của Turán trong giải tích gắn liền với lý thuyết số. Ông chứng minh bất đẳng thức Turán liên quan đến giá trị của đa thức Legendre cho một số trường hợp, và cùng với Paul Erdős, ông chứng minh bất đẳng thức phân bố đều Erdős–Turán.

Lý thuyết đồ thị

Erdős viết về Turán, "Năm 1940–1941 anh ta đưa ra những bài toán cực trị trong lý thuyết đồ thị, giờ là một trong những chủ đề phát triển nhanh nhất của tổ hợp."[3]:4 Peter Frankl nói về Turán, "Ông ấy trở thành nạn nhân của Numerus clausus. Nhà toán học chỉ có giấy và bút, ông ấy chẳng có gì trong trại. Vậy nên ông tạo ra tổ hợp, không cần cả hai thứ đấy."[10]

Ngày nay ngành này trở thành lý thuyết đồ thị cực trị. Kết quả nổi tiếng nhất của Turán trong lĩnh vực này là Định lý Turán, đưa ra một chặn trên cho số cạnh trong một đồ thị không chứa một đồ thị con nào là đồ thị đầy đủ Kr. Ông phát minh ra đồ thị Turán, dạng tổng quát của đồ thị hai phía đầy đủ, để chứng minh định lý này. Ông cũng được biết với định lý Kővári–Sós–Turán cho chặn trên cho số cạnh của một đồ thị hai phía với một số điều kiện nhất định. Ngoài ra ông còn đưa ra bài toán nhà máy gạch Turán, hỏi về số giao cắt nhỏ nhất của một đồ thị hai phía đầy đủ.

Phương pháp tổng lũy thừa

Turán phát triển phương pháp tổng lũy thừa để làm việc với giả thuyết Riemann.[9]:9–14 Phương pháp này xử lý các bất đẳng thức cho chặn dưới của những tổng có dạng

max ν = m + 1 , … , m + n | ∑ j = 1 n b j z j ν | , {\displaystyle \max _{\nu =m+1,\dots ,m+n}\left|\sum _{j=1}^{n}b_{j}z_{j}^{\nu }\right|,} [11]

Ngoài ứng dụng trong lý thuyết số giải tích, nó cũng đã được dùng trong giải tích phức, giải tích số, phương trình vi phân, lý thuyết số siêu việt, và xấp xỉ số nghiệm của một hàm số trong một đĩa.[11]:320